PERMÜTASYON KOMBİNASYON KONU ANLATIMI

Permütasyon, matematikte her sembolün yalnızca bir ya da birkaç kez kullanıldığı sıralı diziye verilen addır. Yani 12’den başlayıp 10’a kadar devam eden doğal sayıları içeren “n” elemanlı bir kümede r= 3 olarak alınırsa permütasyonların sayısı [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10] kümesinden herhangi bir sıralama göz etmeden karışık olarak oluşturulacak olan üç değişik elemanlı kümelerin sayısını ifade etmektedir. Permütasyon tekrarsız, tekrarlı ve dairesel başlıkları altında incelenmektedir.

Tekrarsız:
Tekrarsız olarak ifade edilen permütasyon sisteminde her bir eleman sadece bir defa kullanılabilir. Tekrarsız permütasyonların toplamı “n” elemanlı kümede (n ≥ r olmak şartıyla) ifade edilmektedir.

Tekrarlı:
Tekrarlı olarak ifade edilen permütasyon sisteminde ise her bir eleman birden fazla kullanılabilir. Tekrarlı" permütasyonlar ise nr formülü ile tanımlanırlar.

Dairesel:
Bir kümedeki elemanları bir dairenin etrafında sıralama işlemine dairesel veya dönsel permütasyon denmektedir. Dairesel permütasyonda elemanın durduğu yer önemli değildir. Önemli olan elemanın sağındaki ve solundaki elemanlardır. “n “elemanlı dairesel permütasyonların sayısı: (n-1)! formülü ile ifade edilir.

Konuyu örneklerle pekiştirelim,

Bir erkek çalışanın 2 ceketi, 4 pantolonu, 3 gömleği, 2 çift ayakkabısı ve üç değişik kravatı bulunmaktadır. Bu kıyafetlerden her gün birini farklı olarak kullanarak giyinecektir. Bu şekilde yaparak kaç gün değişik kıyafetle çıkabilir?

Cevap:

Çarpma kuralı gereği bu değişik şeylerin çarpımı kadar gün değişik kıyafet giyer.

2.2.4.3.3 = 144 gün

İzmir kelimesindeki 5 harfle anlamlı ya da anlamsız kaç sözcük yazılabilir?

Çözüm:

P (5,5) = 5! kadar sözcük yazılabilir.

N elemandan (a) tanesi aynı ise bunların Per mutasyonlarının sayısı

Kombinasyon nedir?

“n “elemanlı bir kümenin elemanları kullanılarak oluşturulan grupların her birine kombinasyon adı verilmektedir. Mesela, ö, ü, v, k harflerinden ikisiyle oluşturduğumuz ö, ü grubu ikili bir kombinasyonu oluşturur.  Küme içerisinde elemanların sırasının herhangi bir önemli olmadığı gibi kombinasyonlarda da sıranın bir önemi yoktur. Örnek: 7, 8, 2,6, 5 rakamlarıyla oluşturulabilecek tüm ikili kombinasyonları yazalım. {7,8}, {2,6}, {6, 5}, {7,5}, {2,8}, {2,4}, {6,7}, {6,8}, {7,2}, {8,5} görüldüğü gibi kombinasyonları yazarken {7,6} yazdıysak {6,7} yazmadık. 5 adet elemandan on tane ikili kombinasyon oluşturabildik.

Kombinasyon nasıl hesaplanır?

“Elemanlı bir kümenin r'li kombinasyonlarının sayısı c (n,r) şeklinde ifade edilmektedir. Bu kombinasyonların sayısı ise aşağıda belirttiğimiz formülle hesaplanabilir:
cn, r=n!n-r! . r!

Örnek:
5,4,3,2,1 rakamlarıyla oluşturulacak ikili kombinasyonların sayısını kaçtır?

Daha önce tek tek yazarak on tane olarak hesapladığımız kombinasyonların on adet olduğunu şimdi kombinasyon formülünü kullanarak bulacağız.

c5,2=5!5-2! . 2!=5!3! . 2!=5.4.3.2.13.2.1.2.1=202=10 # c(n,r) yani n'in r'li kombinasyonu nr şeklinde de ifade edilmektedir.

Permütasyon ile kombinasyon arasındaki fark

Permütasyon ile kombinasyon genel olarak öğrenciler tarafından karıştırılmaktadır. Burada dikkat edilmesi gereken permütasyonda dizilim önemli iken kombinasyonda dizilimin bir önemiş yoktur sadece seçme işlemi yapılmaktadır. Bunun için tekrardan kombinasyon ve permütasyon formüllerini bir kez daha hatırlayalım.

pn,r=n!n-r!  cn,r=n!n-r! . r! bu formülden yola çıkarak c(n, r) = pn,rr! şeklinde bir ilişkide kurulabilmektedir.

örnek : 5 kitap içinden 3 tanesi seçilip bir rafa yerleştirilecektir. Bu şekilde kaç farklı şekilde dizilim yapılabilir?

Bu soruyu permütasyon sistemini kullanarak cevaplayacağız. p5,3=5!5-3!=5!2!=5.4.3.2.12.1=60
Örnek: 5 kitaptan 3 tanesi seçilecek kaç farklı şekilde seçim yapılabilir? şeklinde gelen soruda ise kombinasyon yöntemi kullanılır.

c5,3=5!5-3! . 3!=5!2! . 3!=5.4.3.2.12.1. 3.2.1.=202=10 şeklinde cevaplanmış olur.