KAREKÖKLÜ SAYILAR KONU ANLATIMI

KAREKÖKLÜ SAYILAR: Bir sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemine karekök alma denir. Bir sayının üzerine 2 sayısı geldiği zaman bu sayının karesi alınmış olur. Yani 6² = 6 x 6 dan sonuç 36’ dır.

Kareköklü ifadeler √  şeklinde gösterilir. Karekök içerisine alınmış bir sayı kök dışında çıkartılırken sayı hangi sayının karesi ise o sayı olarak kök dışına çıkartılır. Yani kök içerisinde verilmiş 36 sayısı kök dışına çıkarken 6 olarak çıkar. Çünkü 6 sayısısın karesi 36’ dır.

Kareköklü sayıların kök dışına çıkarılması

Kareköklü sayılar birçok soruda karşımıza çıkabilir. Bu nedenle soruları daha kısa sürede çözmek için sayıların karelerinin ne olduğunu bilmek soru çözümünde kolaylık sağlayacaktır. 1 den 20 ye kadar olan sayıların karekökleri şu şekilde olur.

Kareköklü bir sayının üzerinde eğer bir sayı var ise bu sayı dışarı çıkarken kökün derecesi olan ikiye bölünerek dışarı çıkar. Yani;

  Burada bulunan köklerin derecesi 2 olduğu için kök içerisindeki sayıyının derecesini 2 ye bölerek, kök içerisindeki sayı dışarı çıkartılırken sayının üzerinde bu çıkan sonuç yazılır. 5⁸  sayısı kökün derecesi olan 2 ye bölünerek kök dışarısına 5⁴ olarak çıkmıştır.

 Üçüncü örnekte bölüm şeklinde olan sayılar ise her biri kendi içinde kök derecesine bölünmüş ve o şekilde dışarı çıkmıştır.

        

Kök dışındaki bir sayı karekök içerisine nasıl yazılır?

Kök dışında yer alan bir sayıyı karekök içerisine yazarken kök içerisine girecek olan sayının karesi alınır ve o şekilde kök içerisine girerek kök içerisindeki sayı ile çarpılarak yeni köklü sayı yazılır.

 

 Burada kök dışında olan 3 sayısının karesi alınarak sayı 9 oldu. 9 kök içerisine yazıldı ve kök içerisinde bulunan 2 sayısı ile çarpılarak sayı 18 oldu.

 

Kök dışında olan 2 sayısı kök içerisine girerken 4 oldu ve pay ile çarpılarak bulunan değer kök içerisine yazıldı.

Rasyonel sayıların karekökü nasıl alınır?

Rasyonel sayıların karekökü alınırken pay ve paydanın tek tek ayrı olarak karekökleri alınır.

Burada payda bulunan 4 sayısı 2’ nin karesidir. Bu nedenle dışarı çıkarken 2 olarak çıkar ve paya yazılır. 25 sayısı ise 5 in karesidir. Oda 5 olarak dışarı çıkar ve paydaya yazılır.

Köklü bir sayı a kök b biçiminde nasıl yazılır?

Karekök içerisindeki sayı çarpanlarına ayrıldığında sayılardan birisi bir doğal sayının karesi ise bu sayı kök dışına çıkar. Diğer sayı içeride kalır. Yani

√20 = √4x5 = √2²x5= 2√5       Kök içerisinde bulunan 20 sayısının çarpanlarından birisi 4 ve                                                                diğeri 5 olarak alınırsa. 4 sayısı 2 sayısının karesi şeklinde                                                                      yazılabilir ve kök dışına 2 olarak çıkar 5 sayısı ise kök içerisinde                                                            kalarak sonuç 2√5 olur.

Karekök içerisindeki sayının eğer çarpanlarını kolayca bulamıyorsak o zaman ise sayıyı asal çarpanlarına ayırarak sayının içerisinde yer alan kareköklü ifadeyi bulmaya çalışırız.

√98 ifadesini asal çarpanlarına ayıralım

98         2                    √98 = 2x7x7 = 7² x 2= 7√2        şeklinde yazılır.

49         7   

7           7

1              

KAREKÖKLÜ SAYILARDA SIRALAMA

Kareköklü sayılarda sıralama işlemi yaparken sayının kök dışına çıkttığında yaklaşık olarak kaç olarak çıktığını bularak sıralama yapılabilir. Ama bunun yerine kareköklü ifadelerde eğer kök dışında bir sayı var ise bu sayı kök içerisine alınıp doğal sayılarda yapılan sıralama işlemine göre sıralama yapılabilir.

 √8 ,   √17, √ 56   nın sıralamasını büyükten küçüğe doğru yapalım.

 √56 > √17> √8    şeklinde en büyük sayıdan başlanarak sıralama yapılır.

Örnek: 2√7  , 3√5  ve 7√2 ifadelerini büyükten küçüğe doğru sıralayalım.

2√7  = √2² x 7   =  √28                                Sıralama işlemi şu şekilde olur:

3√5  = √3²x 5    =    √45                                   √98 > √45 > √28

7√2  = √7² x 2   =     √98

KAREKÖKLÜ SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA

Kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapılırken kök içerisindeki sayının aynı olup olmamasına bakılır.

Kök içerisindeki sayı aynı ise; kök önündeki sayılar normal toplama veya çıkartma işlemi yapılarak kök önüne yazılır. Kök içerisindeki sayı ise aynı kalır.

√5 + 2 √5  + 8 √5 =  ( 1+ 2+ 8) √5 = 11 √5

9√7 – 4 √7 -  √ 7 =   ( 9 – 4 - 1) √7 = 3√7

Kök içerisindeki sayı farklı ise; kök içerisinde bulunan sayılar birbirine benzetilmeye çalışılarak işlem bu şekilde yapılır.

Örnek: 3√28 + 5√7 ifadesinin sonucu nedir?

3 √7x4 + 5√7 =  3√7 x 2²  + 5√7 = 6√7 + 3√7 = 9√7

Örnek: 3√5 - √20 ifadesinin sonucu nedir?

3√5 - √4 x5 = 3√5 - √2² x 5 = 3√5 - 2√5 = √5

KAREKÖKLÜ SAYILARDA ÇARPMA VE BÖLME

Kareköklü sayılarda çarpma işlemi yapılırken; kök önünde verilen kat sayılar çarpılıp kat sayı olarak, kök içerisindeki sayılar çarpılır kök içerisine yazılır. Kök dışına çıkabilen bir sayı var ise kök dışına çıkartılır.

2√7 x 3√5 = (2 x 3) √7x5 = 6√35

 √3 x √5  = √15

Kareköklü sayılarda bölme işlemi yapılırken katsayılar bölünüp kök önüne, kök içerisindeki sayılar bölünüp kök içerisine yazılır. Eğer kök dışına çıkabilen bir sayı var ise kök dışına çıkartılır.

KAREKÖKLÜ SAYILARIN KARESİ NASIL ALINIR?

Kareköklü sayının karesi alınırken kök işareti kalkar ve sayı tek başına yazılır. Eğer karekökün önünde bir katsayı var ise bu sayının karesi alınır kök içerisindeki sayı dışarı çıkar ve bu sayı ile çarpılır.

ONDALIKLI SAYILARIN KAREKÖKÜ

1.Ondalıklı sayıların karekökü alınırken verilen ondalıklı sayı kesir biçiminde yazılır ve her sayının karekökü alınır.

2.Ondalıklı sayının virgülden sonraki kısmı çift ise virgül yokmuş gibi düşünülerek sayının tam karesi alınır. Daha sonra kök dışarısına çıkarken virgülden sonra her iki basamak bir basamak sağdan sola doğru virgülle ayrılır.

√0,25 sayısında 0 ı yok sayıp sayıyı √25 olarak alırız. 25 5 in karesidir. Bu durumda dışarı 5 olarak çıkar. Virgülden sonra iki basamak olduğu içinde virgül sağdan sola 1 basamak kaydırılır. Yani;

√0,25= 0,5 olur.

Örnek: √0,000049 kök dışına çıkarken;

49 kök dışına 7 olarak çıkar. Burada virgülden sonra 6 basamak olduğu için 3 tane 0 olması gerekir.

√0,000049 = √0,007 olur.